【树的重心+容斥+dp】Squirrel Migration

动态规划DP, 容斥原理, 树论

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srO一觉醒来秒了此题的zzs2003

思路：

  • 考虑路径和在什么时候取到最大，边$(u,v)$的最大贡献是$2min(size_u,size_v)$；

  • 然后这个数值对于任意情况都能取到：

    • 当树有2个重心的时候，重心两边的点都不超过$\frac{n}{2}$，当且仅当所有点经过2个重心所在边时路径和取到最大值，方案数为$(\frac{n}{2}!)^2$；

    • 当树仅有1个重心的时候，每个子树大小不超过$\frac{n}{2}$，当且仅当所有点经过重心时取到路径和能取到最大值，容斥可得： $$ \large ans=\sum_{S\in T}(-1)^{|S|}\times f_S\times(n-|S|)! $$ 其中$f_s$表示集合$S$内的点都回到原先的子树内的方案数；

    • 对于所有$|S|$相同的$S$，可以dp求出它们的总方案数。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define N 5005
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL
const LL mod=1000000007;
LL n,m,x,y,ans,c,tot,sum,a[N],sz[N],mx[N],head[N],fac[N],ifac[N],f[N][N];
struct edge{LL v,nxt;}e[N*2];
void add(LL x,LL y){e[++tot].v=y; e[tot].nxt=head[x]; head[x]=tot;}
void dfs(LL u,LL fa){
	sz[u]=1; mx[u]=0;
	for (LL i=head[u],v;i;i=e[i].nxt)
		if ((v=e[i].v)!=fa){
			dfs(v,u); sz[u]+=sz[v]; mx[u]=max(mx[u],sz[v]);
		}
	mx[u]=max(mx[u],n-sz[u]);
	if (mx[u]<mx[c]) c=u;
}
void getsz(LL u,LL fa){
	sz[u]=1;
	for (LL i=head[u],v;i;i=e[i].nxt)
		if ((v=e[i].v)!=fa){
			dfs(v,u); sz[u]+=sz[v];
		}
}
LL inv(LL x){return x==1?1:(mod-mod/x)*inv(mod%x)%mod;}
LL C(LL x,LL y){return fac[x]*ifac[y]%mod*ifac[x-y]%mod;}
LL P(LL x,LL y){return fac[x]*ifac[x-y]%mod;}
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	for (LL i=1;i<n;i++){
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		add(x,y); add(y,x);
	}
	mx[c=0]=INF; dfs(1,0);
	for (LL i=1;i<=n;i++)
		if (i!=c && mx[i]==mx[c]){
			ans=1;
			for (LL i=1;i<=n/2;i++)
				(ans*=i)%=mod;
			printf("%lld\n",ans*ans%mod);
			return 0;
		}
	getsz(c,0);
	for (LL i=head[c];i;i=e[i].nxt)
		a[++m]=sz[e[i].v];
	fac[0]=1; for (LL i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	ifac[n]=inv(fac[n]); for (LL i=n-1;i>=0;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
	sum=0; f[0][0]=1;
	for (LL i=1;i<=m;i++){
		sum+=a[i];
		for (LL j=0;j<=sum;j++)
			for (LL k=0;k<=a[i] && k<=j;k++)
				(f[i][j]+=f[i-1][j-k]*C(a[i],k)%mod*P(a[i],k)%mod)%=mod;
	}
	for (LL i=0;i<=n;i++) (ans+=f[m][i]*fac[n-i]%mod*(i&1?-1:1)+mod)%=mod;
	printf("%lld\n",ans);
	
	return 0;
}