【二分+最小生成树】Desert King

二分, 图论

传送门：POJ2728

题意：大致就是求一个最优比率生成树，也就是平均值最大或最小

思路：

步骤一

最大（小）化平均值有个经典套路：

这里要求$\frac{\sum\limits_{i\in E}{cost_i}}{\sum\limits_{i\in E}{dist_i}}$尽可能小

假设比率为m

那么$\frac{\sum\limits_{i\in E}{cost_i}}{\sum\limits_{i\in E}{dist_i}}\leqslant m$

$\sum{(cost_i-dist_i\times m)}\leqslant 0$

步骤二

推完上面的以后就可以发现只要假定了一个比率m，

就可以把$(v_i-w_i\times m)$作为新的边权求最小生成树。

那么m可以用二分法或牛顿迭代法来搞定

速度上嘛，一目了然（上为牛顿迭代法，下为二分法）

P1

代码（迭代法）：

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
#define INF 1e8
bool vis[1030];
double x,dis[1030],dist[1030][1030],cost[1030][1030];
int n,a[1030][4],pre[1030];
double prim(double x){
	memset(vis,0,sizeof vis);
	vis[1]=1; dis[1]=0;
	for (int i=2;i<=n;i++){dis[i]=cost[1][i]-dist[1][i]*x; pre[i]=1;}
	
	double tot_cost=0,tot_dist=0;
	for (int i=2;i<=n;i++){
		double min_dis=INF;
		int k=0;
		for (int j=1;j<=n;j++)
			if (!vis[j] && dis[j]<min_dis){min_dis=dis[j]; k=j;}
		dis[k]=0; vis[k]=1;
		tot_cost+=cost[k][pre[k]];
		tot_dist+=dist[k][pre[k]];
		for (int j=1;j<=n;j++)
			if (!vis[j] && dis[j]>cost[k][j]-dist[k][j]*x){dis[j]=cost[k][j]-dist[k][j]*x; pre[j]=k;}
	}
	
	return tot_cost/tot_dist;
}
int main(){
	do{
		scanf("%d",&n); if (n==0) break;
		for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&a[i][1],&a[i][2],&a[i][3]);
		for (int i=1;i<=n;i++)
			for (int j=1;j<=n;j++){
				dist[i][j]=sqrt((a[i][1]-a[j][1])*(a[i][1]-a[j][1])+(a[i][2]-a[j][2])*(a[i][2]-a[j][2]));
				cost[i][j]=abs(a[i][3]-a[j][3]);
			}
		
		x=1e6;	
		while (1){
			double tt=prim(x);
			if (x-tt<1e-6) break;
			else x=tt;
		}
		printf("%.3f\n",x);
	}while (1);
	
	return 0;
}

代码（二分法）：

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
#define INF 1e8
bool vis[1030];
double l,r,mid,dis[1030],dist[1030][1030],cost[1030][1030];
int n,a[1030][4];
double prim(double x){
	memset(vis,0,sizeof vis);
	vis[1]=1; dis[1]=0;
	for (int i=2;i<=n;i++) dis[i]=cost[1][i]-dist[1][i]*x;
	
	double sum=0;
	for (int i=2;i<=n;i++){
		double min_dis=INF;
		int k=0;
		for (int j=1;j<=n;j++)
			if (!vis[j] && dis[j]<min_dis){min_dis=dis[j]; k=j;}
		dis[k]=0; vis[k]=1;
		sum+=min_dis;
		for (int j=1;j<=n;j++)
			if (!vis[j] && dis[j]>cost[k][j]-dist[k][j]*x) dis[j]=cost[k][j]-dist[k][j]*x;
	}
	
	return sum;
}
int main(){
	do{
		scanf("%d",&n); if (n==0) break;
		for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&a[i][1],&a[i][2],&a[i][3]);
		for (int i=1;i<=n;i++)
			for (int j=1;j<=n;j++){
				dist[i][j]=sqrt((a[i][1]-a[j][1])*(a[i][1]-a[j][1])+(a[i][2]-a[j][2])*(a[i][2]-a[j][2]));
				cost[i][j]=abs(a[i][3]-a[j][3]);
			}
			
		l=0; r=1e6;
		while (r-l>1e-6){
			mid=(l+r)/2;
			if (prim(mid)<=0) r=mid;
			else l=mid;
		}
		printf("%.3f\n",r);
	}while (1);
	
	return 0;
}